Pět logických hádanek ke zpříjemnění karantény i home office

Povšiml jsem si blogu s příspěvkem obsahujícím hádanku a tak mě napadlo přispět svou troškou do mlýna. A aby to nebyla jenom troška, následující příspěvek obsahuje pět hádanek posbíraných za celý můj dosavadní život.

Povšiml jsem si blogu s příspěvkem obsahujícím hádanku a tak mě napadlo přispět svou troškou do mlýna. A aby to nebyla jenom troška, následující příspěvek obsahuje pět hádanek posbíraných za celý život - hádanek, které mě tak zaujaly, že si je pamatuji dodnes. A protože lehké hádanky příliš zajímavé nejsou, půjde především o hádanky těžké. Na druhé straně jde o hádanky, ke kterým nepotřebujete počítač ani kalkulačku, a myslím, že dokonce ani papír a tužku.

První hádanka je na rozkoukání, je poměrně známá a ani ti, co ji ještě nepotkali, by s ní nemuseli mít větší problém. Druhá hádanka také není těžká, když se nad ní pořádně zamyslíte. Její řešení je však překvapivé a mnoho hádačů se s ním nedokáže ztotožnit a nevěří mu. Tuto hádanku jsem zpopularizoval v širokém okruhu známých a nakonec se mi vrátila oklikou i přes bridžové kamarády, protože zastupuje takzvaný princip omezeného výběru, který se v bridži (a v matematice) široce uplatňuje.

Tím ale lehké a dosti známé hádanky končí. Základní verzi třetí hádanky lze také najít na webu, ale má verze je obtížnější a opravdu dost těžká. Čtvrtá hádanka je známá jako rozptýlení spíše mezi matematiky a studenty matfyzu, i když se v ní s čísly v podstatě nepočítá a na webu jsem ji ve velkých přehledech hádanek neobjevil, přestože tam asi také někde bude. No a poslední pátá hádanka je hodně těžká, vlastně jsem na ni převedl hezkou matematickou úlohu, kterou jsem řešil na vysoké škole. Na webu jsem tuhle hádanku nenašel. Když už na to ale přijdete, řešení je na pár řádek textu.

Ještě bych zdůraznil, že všechny dále uvedené hádanky mají přísně matematicko logický základ a nejedná se o slovní chytáky ani hádanky na pozornost, přehlédnutí něčeho v textu, hádanky psychologické a podobně. Jediná věc, kterou hádanky vyžadují, je schopnost logického myšlení. Řešení všech hádanek naleznete v druhé části článku.

Hádanka první – čepicová (na rozkoukání)

Učitel logiky si přinese pět čepic – tři bílé a dvě černé, a postaví tři studenty do zástupu tak, že poslední vidí na první dva a prostřední jenom na prvního. Zhasne a každému posadí na hlavu čepici. Pak rozsvítí a zeptá se posledního, zda ví, jakou má na hlavě čepici. „Nevím“, odpovídá student po pravdě. Následně se učitel zeptá prostředního studenta, zda on ví, jakou má na hlavě čepici. „Nevím“, odpovídá student po pravdě. Nakonec učitel se zeptá prvního studenta, který nevidí na nikoho. „Ano, vím, jakou mám na hlavě čepici“, odpovídá student. Jakou čepici má na hlavě student, který ví?

Hádanka druhá – garážová

Otec vezme Jirku při příležitosti osmnáctých narozenin do na vycházku a zastaví se s ním před třemi garážovými vraty. „Za jedněmi z vrat je auto, které jsem ti koupil, a když si vybereš ta správná, je tvoje“, sdělí otec synovi. Syn se zamyslí a ukáže na jedna vrata. Otec ho ale zarazí, otevře jedna ze dvou zbývajících vrat a za nimi žádné auto není. Nyní otec nabídne: „Dám Ti ještě jednu možnost. Můžeš zůstat u své původní volby anebo si můžeš vybrat znovu (ta doposud neotevřená vrata, která jsi předtím nevolil)“. Jak se má syn zachovat, aby měl největší šanci na získání auta – trvat na původní volbě, zrušit původní volbu anebo je to jedno a šance je stejná? (Znovu opakuji – řešení je čistě matematické a nejde v něm o to, že by otec chtěl syna jakkoli psychologicky ovlivnit a napálit).

Hádanka třetí – nevěrnická

V čas podvečerní, pod velkou stříbrnou koulí vycházejícího úplňku svolá starý moudrý šaman na náves všechny muže kmene a dí k nim: „Mužové velkého kmene! Lež a nevěra vstoupily do našich ložnic v míře nebývalé. Každému z vás proto povím jména všech nevěrnic z vesnice, s jedinou výjimkou - protože v souladu s našimi zákony musím ctít zpovědní tajemství v přímé linii, nemohu nikomu povědět, zda právě jeho žena je věrná či nikoli. Současně vás všechny zavazuji mlčením a požaduji, abyste v případě, že jste si jisti, že vaše žena je nevěrná, ji o nejbližší noci ztrestali na hrdle“. Po rozhovoru se šamanem se muži rozejdou a kmen dále žije řadu dní svým životem, jako kdyby k ničemu nedošlo. Až přijde znovu, poprvé od konzultace se šamanem, krásný obrovský měsíc v úplňku, a následující den se po celé vesnici rozléhá nářek nad mrtvými ženami, za nevěru odměněnými trestem nejvyšším. Kolik jich bylo?

Hádanka čtvrtá - loupežnická

Dva loupežníci si po úspěšném přepadení dělí velký zlatý valoun a chtějí se podělit spravedlivě. Proto se dohodnou, že první loupežník valoun rozdělí na poloviny a druhý si vybere tu polovinu, která mu bude připadat větší. První loupežník není v nevýhodě, protože loupežníci se naučili za roky loupení dělit zlaté valouny přesně tak, jak chtějí, a oba loupežníci tento způsob pokládají za spravedlivý. Jak to ale mají udělat, pokud jsou na úspěšný lup a zlatý valoun tři a žádný z nich nemá mít pocit, že byl zbylými dvěma jakkoli podveden?

Hádanka pátá - zahradnická

Majitel pozemku si na své zahradě nechal od zahradníka vypěstovat kruhový trávník o obvodu 25 metrů. Po obvodu trávníku by chtěl vysázet 25 růží a namaloval si malý plánek, na který přesně zakreslil umístění všech růží. Po obvodu trávníku má ale již instalován i větší počet různě velkých ostřikovačů, které dohromady zabírají necelý metr obvodu. Majitel předá plánek zahradníkovi s tím, že pro první růži si může vybrat libovolné místo, ale všechny ostatní růže musejí být od sebe po obvodu vzdáleny přesně tak, jak jsou nakresleny na plánku, a žádné růži nesmí připadnout místo tam, kde je již umístěn ostřikovač. Bude to chytrý zahradník schopen vždycky udělat tak, aby splnil přání majitele anebo může být úloha neřešitelná?

Řešení hádanek

Hádanka první - čepicová

Kdyby poslední student v řadě před sebou viděl dvě černé čepice, věděl by, že musí mít na hlavě bílou (protože žádná černá už na něj nezbyla). Protože po pravdě odpovídá, že neví, musí být před ním vidět buď obě bílé čepice nebo jedna bílá a jedna černá čepice. Kdyby prostřední student viděl před sebou černou čepici, věděl by, že musí mít bílou. Protože ani druhý student neví, jakou čepici má na hlavě, musí mít první student na hlavě bílou čepici.

Hádanka druhá – garážová.

Na první pohled se zdá, že obě možnosti jsou rovnocenné, půl na půl, protože auto je buď za dveřmi, které si původně vybral syn, anebo za druhými dosud neotevřenými dveřmi a šance jsou fifty-fifty. Ve skutečnosti dává dvakrát větší šanci na úspěch změnit volbu. Proč? Šance syna na úspěch při první volbě byla jedna třetina (jedny vrata ze tří), šance na neúspěch plné dvě třetiny (dvoje vrata ze tří). Správná strategie v prvním případě je zůstat na svém, zatímco v druhém případě změnit volbu. Strategie se změnou volby má tedy dvakrát větší šanci na úspěch.

Hádanka třetí – nevěrnická.

Předpokládejme, že v celé vesnici by teoreticky byla pouze jedna nevěrná žena. V takovém případě by šaman řekl každému muži (jedno) její jméno, až na jejího manžela, kterému by neřekl jméno žádné (protože o jeho ženě mluvit kvůli zpovědnímu tajemství nesmí). Manžel jediné nevěrné ženy by pochopil, že se jedná právě o jeho ženu a první den po úplňku by byla nalezena mrtvá.

K tomu však nedošlo a proto je nevěrných žen více než jedna. Předpokládejme proto, že nevěrné ženy jsou dvě. V takovém případě se dozví všichni muži ve vesnici dvě jména, až na dva muže, kterým řekne šaman (jediné) jméno druhé nevěrnice. Tito muži vědí, že nevěrná je šamanem označená žena a teoreticky i jejich vlastní žena, o které šaman mluvit nesmí. Pokud by byla nevěrná pouze jediná „cizí“ žena, byla by podle předchozí úvahy nalezená hned první den po úplňku mrtvá, což se ale nestalo. Proto si tito muži uvědomí, že musí být nevěrné právě dvě ženy – žena jim udaná šamanem a jejich vlastní žena. V takovém případě budou na druhý den po úplňku nalezeny dvě mrtvé ženy.

Řešení hádanky pokračuje podobnými úvahami. Pokud by byly nevěrné tři ženy, řekne šaman jejich jména všem, kromě tří mužů, kterým řekne pouze dvě jména, protože o jejich ženě mluvit nesmí. Tito muži zjistí, že mají nevěrnou ženu, když se nic nestane první dva dny po úplňku, a jejich (celkem tři) ženy budou nalezeny mrtvé třetí den po úplňku.

Podobným způsobem lze pokračovat dále. Protože mrtvé ženy byly nalezeny první noc po následujícím úplňku a oba úplňky odděluje 28 dnů, byly mrtvé ženy nalezeny dvacátý devátý den po úplňku, kdy šaman seznámil muže ve vesnici se jmény nevěrnic. Mrtvých žen je proto 29.

Hádanka čtvrtá – loupežnická

První loupežník rozdělí valoun na dva díly a druhý loupežník si vybere ten, který se mu více líbí. Každý z prvních dvou loupežníků pak rozdělí svoji polovinu na tři části. Poslední třetí loupežník si od každého vybere tu třetinu, která se mu nejvíce líbí, a prvním dvěma loupežníkům zůstanou dvě třetinky z jejich polovičky.

Hádanka pátá – zahradnická

Řekněme, že si zahradník vyrobí zvětšený plánek, který bude stejně velký jako kruhový trávník a bude mít růže přesně na těch místech obvodu velkého plánku, kam je na obvod zmenšeného plánku namalovat majitel pozemku. Plánek položí přesně na originální kruhový trávník a otočí s ním kolem dokola (o 360 stupňů).

Předpokládejme, že úloha je pro nějaké rozmístění růží na obvodu neřešitelná a vždycky bude nějaké růži namalované na kraji plánu při otáčení plánem překážet nějaký ostřikovač. V takovém případě všechny růže procestují po částech s ostřikovači při otáčení nejméně 25 metrů, protože vždycky bude alespoń jedna růže na ostřikovači. Ve skutečnosti ale každá z dvaceti pěti růži nacestuje po částech s ostřikovači necelý metr, protože toto je ceková délka částí s rozstřikovači na celém obvodu. Dohromady tedy po obvodu 25 růží procestuje 25 necelých metrů, tedy určitě méně, než plných 25 metrů, což je spor s naším předchozím předpokladem. Předpoklad tedy neplatí a úloha je pro zahradníka splnitelná. Pokud bude zahradník otáčet postupně velkým kruhovým plánem se zakreslenými růžemi, musí nutně narazit na pozici, kdy ani jedna z růží na ozstřikovači nebude.